Konstrukce trojúhelníku – ne zcela běžné, učebnicové
Konstrukce trojúhelníku – ne zcela běžné, učebnicové
Značení v tomto textu:
A, B, C … vrcholy
T … těžiště
α, β, γ … vnitřní úhly
Sa, Sb, Sc … středy příslušných stran
Pa, Pb, Pc … paty výšek na příslušné strany
Ta, Tb, Tc … body dotyku příslušné strany s vepsanou kružnicí
a, b, c … délky stran
ta, tb, tc … délky tečen
va, vb, vc … délky výšek
oa, ob, oc … osy stran
O … střed opsané kružnice
r … poloměr opsané kružnice
ρ … poloměr vepsané kružnice
I … střed vepsané kružnice
Úlohy
| Z | 17 | AB, r (poloměr ops. kružnice), b | |
| Z | 18 | ta=ASa, tb, c | |
| Z | 80 | A, osy stran oa, ob | viz 108, 190 |
| Z, S | 81 | O, A na straně c, alfa | |
| Z, S | 82 | Sa na ose oa, ob, r | |
| Z | 85 | A, B, ta, tb | viz 136, 141 |
| Z, S | 86 | Sa, Sb, ta, tb | viz 136, 141 |
| S | 131 | pravoúhlý, odvěsna AC a na ní bod dotyku vepsané kružnice | |
| S | 132 | pravoúhlý, odvěsna AC a poloměr vepsané kružnice | |
| S, Z | 134 | Body dotyku stran s vepsanou kružnicí | |
| Z | 135 | O, Sa, Sb | viz 190, 80 |
| Z | 136 | T, Sa, Sb | viz 141, 85, 86 |
| Z | 140 | Sa, Sb, Sc | |
| Z | 107 | C, Sa, Sb | viz 80, 108, 190 |
| Z | 108 | A, Sa, Sc | viz 80, 107, 190 |
| Z | 141 | T, A, B | viz 136, 85, 86 |
| Z | 167 | A, Sa, B | viz 161, 141 |
| Z | 168 | B, T, Sa | |
| Z | 169 | O, T, Sa | viz 189 |
| S | 174 | A, Sa, b, c | (středová souměrnost) |
| Z | 189 | O, A, Sa | |
| Z | 190 | O, přímky stran a, b | viz 108, 80 |
| S | 191 | připsané kružnice k, l | (stejnolehlost kružnic, společné tečny) |
| S | 193 | připsané kružnice k, l | (stejnolehlost kružnic, společné tečny) |
| S | 192 | připsaná kružnice k, vepsaná l | (stejnolehlost kružnic, společné tečny) |
| S | 194 | připsaná kružnice k, vepsaná l | (stejnolehlost kružnic, společné tečny) |
| S | 195 | A, ro (vepsaná kružnice), c | (tečny z bodu) |
| S | 196 | A, ro (vepsaná kružnice), vc | (tečny z bodu) |
| S | 197 | A, s (střed veps. kruž.), Pc | |
| S | 198 | kI (vepsaná kružnice), Sa, Tb | (tečny v bodě, z bodu) |
| Z | 199 | A, B, i (střed veps. kružnice) | (tečny v bodě i z bodu) |
| S, Z | 200 | A, Pa, Pb | |
| S, Z | 201 | A, Pb, Pc | |
| S, Z | 202 | Pa, Sa, Sb | |
| S, Z | 203 | Pc, Sa, Sb | |
| S, Z | 240 | Pc, Sc, vc, c | |
| S (Z) | 249 | A, Tb, ρ, γ | |
| S (Z) | 250 | A, I, Ta | |
| S (Z) | 251 | A, B, Ta | |
| S (Z) | 252 | A, Ta, Tc | |
| S (Z) | 253 | A, Tb, Pc |
Další úlohy, v nichž jsou zadány středy stran:
| kromě lehkých úloh 135, 136, 140, 180 a dalších 86, 202, 203 uvedených výše dále: | |||
| S, Z | 241 | Sa, Sb, ta, b | |
| S, Z | 242 | Sa, Sb, tc, b | |
| S, Z | 243 | Sa, Sb, ta, alfa | |
| S, Z | 244 | Sa, Sb, ta, vc | |
| S, Z | 245 | Sa, Sb, vc, alfa | |
| S, Z | 246 | Sa, Sb, vc, b | |
| S, Z | 247 | Sa, Sb, r (poloměr opsané), b | |
| S, Z | 248 | oa, ob, r, a | |
| S (Z) | 208 | O, T, a | |
| S (Z) | 209 | O, A, Pa | |
| S (Z) | 210 | V, Pc, Sa | |
Obtížnější úlohy, které vyžadují pokročilejší znalosti:
Obrazy ortocentra v osových souměrnostech podle stran trojúhelníku leží na kružnici trojúhelníku opsané.
Případně (není to třeba, ale lze využít – v úloze 207 vlastnosti Kružnice devíti bodů).
| S | 204 | A, V, kružnice opsaná | (obrazy ortocentra) |
| S | 205 | Ac, V, poloměr opsané kružnice r | (obrazy ortocentra) |
| S | 206 | A, V, střed opsané kružnice o | (obrazy ortocentra) |
| S | 207 | A, V, těžiště T | (obrazy ortocentra nebo kružnice 9 bodů) |
| S | 208 | A, O, T | |
| S | 211 | A, V, Sc | |
| S | 212 | A, V, Sa | (obrazy ortocentra) |
| S | 213 | O, V, Sa | (obrazy ortocentra) |
| S | 214 | O, V, a | (obrazy ortocentra) |
| S | 215 | T, V, a | (obrazy ortocentra + Eulerova přímka) |
| S | 216 | O, T, a | (viz 214, ale stačí vlastnost T ve třetině těžnice) |
| S | 230 | Ta, Tp (připsaná k BC), ρ, 2ρ | stejnolehlost |
| S | 231 | Ta, Tp (připsaná k BC), Tb | body dotyku vepsané a připsané kružnice |
Navrhované sady úloh:
* Vlastnosti opsané kružnice, os stran (kolmost): 135, 190, 189, 202, 17
* Vlastnosti těžnic a těžiště: 136, 141, 18
* Vlastnosti stejnolehlosti mezi vepsanou/připsanými kružnicemi: 191–194
* Vlastnosti vepsané kružnice, strany-tečny: 134, 195–199, 250–252
* Vlastnosti středních příček (rovnoběžnost se stranou): lehké 108, 140 a dále 203, 202, 136
* Vlastnosti průsečíku výšek: 204–207, 210–215
* Středy stran: lehké na úvod – 108, 140, 136, 135 a další 86, 241–245; nakonec 246, 247 a 202, 203